METODE SIMPSON 1/8 DAN 3/8 BESERTA CONTOH PROGRAM

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi yang tinggi dan waktu pengerjaan yang singkat. Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Sudah banyak persoalan di bidang teknik maupun sains yang dapat diselesaikan dengan menggunakan permodelan matematika. Sering kali permodelan matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejati (exact solution).

Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan metode permodelan matematika metode analitik menggunakan dalil-dalil kalkulus, maka solusinya dapat diperoleh dengan metode numerik. Metode numerik secara harfiah berarti suatu cara berhitung dengan menggunakan angka-angka, sedangkan secara istilah metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa.

Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusi galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Kaidah Simpson 1/3

Kaidah simpson 1/3 adalah kaidah yang mencocokkan polinomial derajat 2 pada tiga titik data diskrit yang mempunyai jarak yang sama. Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi. Misalkan fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya berbentuk parabola. Luas daerah dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah parabola (Gambar 3.1). untuk itu, dibutuhkan 3 buah titik data, misalkan (0,f(0)),(h,f(h)),  dan (2h,f(2h)).

Gambar 3.1 Kaidah Simpson 1/3

Namun penggunaan kaidah Simpson 1/3 mensyaratkan jumlah upselang (n) harus genap, ini berbeda dengan kaidah trapesium yang tidak memiliki persyaratan mengenai jumlah selang.

Algoritma Metode Integrasi Simpson 1/3:

1. Mendefinisikan fungsi yang akan diintegrasikan y=f(x).
2. Menentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) integrasi
3. Menentukan jumlah segmen atau pias n dengan syarat n genap
4. Menghitung lebar segmen yaitu h=(b-a)/n .
5. Menentukan nilai integrasi menggunakan kaidah Simpson 1/3
   

6.                6.Menentukan nilai integrasi sejatinya

CONTOH PROGRAM MENGGUNAKAN MATLAB

SOURCE CODE PROGRAM

 Clc;

f=(@(x)3^(x.^2)+3.*x;

a=input(‘input batas bawah= ‘);

b=input(‘input batas atas = ‘);

k=input(‘input partisi : ‘);

If a>b

                c=b;

                b=a;

                a=c;

End

deltax = (b-a)/k;

i=1;

z=0;

y=0;

while i<=k-1

                z=z+f(a+(i*deltax));

                i=i+z;

end

i=2;

while i<=k-2

y=y+f(a+(i*deltax));

i=i+2;

end

luas daerah=(deltax/3)*(f(a)+(4*z)+(2*y)+f(b))

fplot(f,[0,2])

OUTPUT PROGRAM

tinggal run Source code di atas dengan memasukaan batas bawah = 0 , batas atas =2 dan jumlah partisi =5, maka hasilnya akan didapat. khusus di  Metode simpson 1/8 ini jumlah partisi harus ganjil tidak boleh genap. karna kalau genap jumlah luasnya tetap entah berapapun nilai batas atas dan bawahnya. maka dari itu pada program saya menggunakan nilai partisinya ganjil yaitu 5.Dan setrusnya jika partisinya di berikan bilangan ganjil yang lebih besar lagi maka nilai luas daerahnya semakin besar

B.     Kaidah Simpson 3/8

Seperti halnya pada kaidah Simpson 1/3, hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan mengunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi pula. Misalkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan polinom interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah kurva polinom derajat 3 tersebut parabola (Gambar). Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data, misalkan titik-titk tersebut (0, f(0)), (h, f(h)), (2h, f(2h)), dan (3h, f(3h)).

Gambar 3.2 Kaidah Simpson 3/8

Kaidah simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat kaidah simpson 1/3 namun dalam parktek, kaidah simpson 1/3 lebih disukai daripada kaidah simpson3/8, karena dengan tiga titik (simpson 1/3) sudah diperoleh orde ketelitian yang sama dengan 4 titik (simpson 3/8). Tetapi untuk n kelipatan tiga , kita hanya dapat menggunakan kaidah simpson 3/8, dan bukan simpson 1/3.

Algoritma Metode Integrasi Simpson 3/8:

1.       Mendefinisikan fungsi yang akan diintegrasikan y=f(x).
2.       Menentukan batas bawah a dan batas atas b integrasi
3.       Menentukan jumlah segmen atau pias n dengan syarat n kelipatan 3
4.       Menghitung lebar segmen yaitu h=(b-a)/n .
5.       Menentukan nilai integrasi menggunakan kaidah Simpson 3/8                                                                                       
6.      Menentukan nilai integrasi sejatinya

CONTOH PROGRAM  MENGUNAKAN MATLAB

SOURCE CODE PROGRAM

Clc;

f=(@(x)3^(x.^2)+3.*x;

a=input(‘input batas bawah= ‘);

b=input(‘input batas atas = ‘);

k=input(‘input partisi : ‘);

If a>b

                c=b;

                b=a;

                a=c;

End

deltax = (b-a)/k;

i=1;

z=0;

y=0;

while i<=k-1

                z=z+f(a+(i*deltax));

                i=i+z;

end

i=2;

while i<=k-2

y=y+f(a+(i*deltax));

i=i+2;

end

luas daerah=3*(deltax/8)*(f(a)+(3*z)+(2*y)+f(b))

fplot(f,[0,2])

OUTPUT PROGRAM

Penjelasan

     Untuk mencari luas daerah dengan menggunakan metode simpson 3/8.
kita harus menginput batas bawah , atas dan menentukan jumlah partisinya. Setelah itu jika batas bawah lebih besar dari batas atas, maka nilai c=b, b=a, dan a=c. Kemudian dicarilah deltax = (b-a)/k. Dengan i=1, g&h=0.Lalu untuk mencari  luas daerah nya di gunakan luasdaerah=3*(deltax/8)*(f(a)+(3*z)+(2*y)+f(b)). Setelah itu akan muncul hasil dari luas daerahnya .

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB III

KESIMPULAN

Pada metode Simpson Menggunakan Parabola,seperti pada metode trapezoida yg menggunakan trapesium. dalam metode ini makin banyak jumlah partisi yang kita gunakan maka akan mendekati nilai luas yang sebenarnya.Jadi Kalau metode Simpson 1/8 memiliki kekurangan dan metode simpson 3/8 memiliki hampiran nilai integrasi yang lebih teliti danmengunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi pula.

Sekian Penjelasan Dari saya.. Terimah Kasih Telah berkunjung ☺ Jangan lupa Share blog ini agar dapat berkembang .

INTEGRASI RIEMANN

INTEGRASI RIEMANN

BAB I Pendahuluan

     A.Latar Belakang

      Konsep integral sering digunakan untuk menentukan luas daerah di bawah kurva. Selain itu, integral juga sering digunakan untuk mencari penyelesaian dari suatu model matematika. Seiring dengan perkembangan zaman, saat ini banyak ditemui software-software yang sudah menyertakan operasi integral sehingga memudahkan pengguna dalam mencari nilai integral suatu fungsi. Adapun semua itu tidak terlepas dari awal mula ilmu kalkulus yang telah mengalami perkembangan dan juga perbaikan. pada tahun 1850-an, Bernard Riemann berhasil menemukan bentuk integral yang baru dan berbeda. Riemann memisahkan konsep integrasi dari diferensiasi dan menggunakan ide penjumlahan dan proses limit untuk menentukan luas daerah di bawah kurva. Selanjutnya bentuk integral ini disebut integral Riemann. Setiap fungsi kontinu f pada [a b, ] dijamin juga terintegral Riemann pada [a ,b] .

BAB II Pembahasan

     A.Pengertian Integrasi Riemann

             

      Metode integral Reimann didefinisikan dengan:

Pada metode ini, luasan yang dibatasi oleh y = f(x) dan sumbu x dibagi menjadi n bagian pada rangeyang akan dihitung. Kemudian dihitung tinggi dari setiap step ke-I yaitu  f(x_i). L_i adalah luas setiap persegi panjang dimana L_i=f(x_i) ∆x_{i .}Pada metode ini, luasan yang dibatasi oleh y = f(x) dan sumbu x dibagi menjadi n bagian pada range X=[a,b] yang akan dihitung. Kemudian dihitung tinggi dari setiap step ke-I yaitu f(x_i). L_i adalah luas setiap persegi panjang dimana L_i=f(x_i) ∆x_i  .

Gambar

 pembagian kurva menjadi sejumlah segiempat

Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :

L = L₀ + L₁ + L₂ + ... + L_n

                          = f(X₀) ∆X₀ + f(X₁) ∆X₁ + f(­X₂) ∆X₂ + ... + f(X_n) ∆X_n

                = 

Bila diambil ∆X₀ = ∆X₁ = ∆X₂ = ...=  ∆X_n = L maka didapat metode integral Riemann sebagai berikut :

Algoritma Metode Integral Reimann

1.   Definisikan fungsi f(x)

2.   Tentukan batas bawah dan batas atas integrasi

3.   Tentukan jumlah pembagi area N

4.   Hitung h=(b-a)/N

5.   Hitung  

     B. Contoh Program dan Output

SOURCE CODE

OUTPUT PROGRAM

GAMBAR GRAFIK

C. Penjelasan Program

         Diberikan sebuah fungsi f(x) = x^2+2*x+3.Akan dicari nilai luas daerah dari fungsi tersebut dengan menggunakan matlab.dengan mengikuti proses algoritmanya maka masukkan nilai batas bawah = 1 dan batas atas = 2 serta jumlah pembagi areanya=12. Maka hasil luas dri fungsi tersebut adalah 8,5428241.

BAB III Kesimpulan

     A.Kesimpulan

Integrasi Reimann merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan integrasi numerik. metode Integrasi Reimann yang lebih mudah dipergunakan karena rumusnya lebih sederhana dan mudah untuk di pahami.

Terimakasih Sudah Berkunjung dan Membaca artikel saya. Semoga Membantu Dan Bermanfaat ... Jangan Lupa untuk share artikel ini agar bisa bermanfaat bagi yang lain juga.